[更新中]本篇是材料成形基本原理塑性成形部分的第一篇。
塑形成形部分的力学色彩比较浓郁，因而不可能像焊接部分一样整理，重在公式推导和整理。

张量

指标记法

默认不说明时，角标取值为1、2、3
多项式中同一项重复出现的下标称为哑标，表示求和，如
$$s=a_ix_i$$
书写时应当注明下标取值

在各项中至多出现一次的下标称为自由标，表示方程个数

克氏符号

表示为

$$ \delta_{ij}=\begin{cases} 1\quad (if\ i = j)\\ 0\quad (if\ i\neq j) \end{cases} $$

或

$$ \begin{bmatrix} \delta_{11}&\delta_{12}&\delta_{13}\\ \delta_{21}&\delta_{22}&\delta_{23}\\ \delta_{31}&\delta_{23}&\delta_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} $$

实际上标量是零阶张量，矢量是一阶张量

应力张量

一点的应力状态表示为

$$ \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} $$

该张量为二阶对称张量
非对称张量可以转化为一个对称张量和一个反对称张量之和
二阶对称张量的不变量有3个

第一下标：应力分量作用面
第二下标：应力分量作用方向

二阶对称张量存在三个主轴和三个主值。若以主轴为坐标，则两个下标不同的分量均为零，只留下两个下标相同的三个分量，称为主值。

应力正负号取决于所在面和作用方向。正面沿轴正向为正，负面沿轴正向为负。
y由于单元体处于静力平衡，合力矩为零，同角标符号的切应力互等，为对称张量。

l、m、n分别为任意斜切面上法线对x、y、z轴的方向余弦

$$ 全应力表示为 S_{ij}=\sigma_{ij}l_i\ \begin{cases} S_x = \sigma_{xx} l + \sigma_{xy} m + \sigma_{xz} n\\ S_y = \sigma_{xy} l + \sigma_{yy} m + \sigma_{yz} n\\ S_z = \sigma_{xz} l + \sigma_{yz} m + \sigma_{zz} n \end{cases} $$

$$S^2=S_iS_i(\neq S_i^2)$$

分别向xyz轴投影求和得到正应力，再由
$$\tau^2=S^2-\sigma^2$$
得到切应力

应力张量不变量

不同坐标系下应力张力的9个分量不同，选取一特殊方向平面，使得坐标系上无切应力，称为主平面，主平面上的正应力称为主应力，主平面法线方向称为主方向。

联立全应力方程组与主应力在各方向的投影即为各方向上全应力分量的方程组，得到系数行列式为0，求解得到$\sigma$的三次方程

$$ \sigma^3-J_1\sigma^2-J_2\sigma-J_3=0 $$

三个系数分别为

$$ \begin{cases} J_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z \\ J_2 = - (\sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x) + \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \\ J_3 = \sigma_x \sigma_y \sigma_z + 2 \tau_{xy} \tau_{yz} \tau_{zx} - (\tau_{xy}^2 \sigma_z + \tau_{yz}^2 \sigma_x + \tau_{zx}^2 \sigma_y) \end{cases} $$

由此可以得到三个主应力

$$ \begin{cases} J_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 \\ J_2 = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2 \sigma_3 + \sigma_3 \sigma_1 \\ J_3 = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 \end{cases} $$

$\sigma_1\neq\sigma_2=\sigma_3=0 $称为圆柱应力状态（包括单向应力状态），垂直于$\sigma_1$的均为主方向。三者相等为球应力状态，$\tau=0$，各方面均为主方向。

主应力图： 9＝4＋3＋2

主切应力平面：切应力取极值的平面。
主切应力：主切应力平面上的切应力。
最大切应力：主切应力中最大者。

三对相互垂直的主切应力平面分别与一对主平面垂直，与另外两对主平面成$45^\circ$角，每对面上主切应力相等。

以$\tau_{12}$为例，$\tau_{12}=\pm\frac{1}{2}(\sigma_1-\sigma_2)$
求出的主切应力带正负号。

主切应力平面上的正应力，以$\sigma_{12}$为例，$\sigma_{12}=\frac{1}{2}(\sigma_1+\sigma_2)$

平均应力：
$$\sigma_m=\frac{1}{3}(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z})=\frac{1}{3}(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3})=\frac{J_1}{3}$$

分解成应力球张量与应力偏张量：

$$ \sigma_{ij}=\sigma_{ij}^\prime+\delta_{ij}\sigma_m $$

球张量只产生体积变形，不产生形状变形，偏张量相反。

$$ \begin{cases} J_1' = 0 \\ J_2' = \frac{1}{6} \left[ (\sigma_x - \sigma_y)^2 + (\sigma_y - \sigma_z)^2 + (\sigma_z - \sigma_x)^2 + 6 \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right) \right] \\ J_3' = \left| \begin{matrix} \sigma_x^\prime & \tau_{xy} & \tau_{zx} \\ \tau_{xy} & \sigma_y^\prime & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{yz} & \sigma_z^\prime \end{matrix} \right| \end{cases} $$

八面体应力
$$\sigma_8=\sigma_m=\frac{J_1}{3}$$

$$ \begin{cases} \tau_8 = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + (\sigma_y - \sigma_z)^2 + (\sigma_z - \sigma_x)^2 + 6 \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)} \\ \bar{\sigma} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + (\sigma_y - \sigma_z)^2 + (\sigma_z - \sigma_x)^2 + 6 \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2 \right)} \end{cases} $$

静力平衡微分方程：

$$ \begin{cases} \frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = 0 \end{cases} $$