忘记微分方程而学这一部分简直就是折磨。
三维传热微分方程
$$ \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda}{c\rho}\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)=a\nabla^2T $$
其中$a$为材料的热扩散率,$a=\frac{\lambda}{c\rho}$
定解条件
- 初始条件 物体开始导热时的瞬时温度分布
边界条件
- 第一类边界条件 给出表面温度随时间的变化:$$T_w=f(t)$$
- 第二类边界条件 给出通过物体表面的比热流随时间的变化:$$\lambda\frac{\partial T}{\partial n}=q(x, y, z, t)$$
- 第三类边界条件 给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数$\alpha$:$$\lambda\frac{\partial T}{\partial n}=\alpha(T_w-T_f)$$
铸造温度场
设铸件的起始温度为浇铸温度$T_10$,铸型的起始温度为环境或预热温度$T_20$。对于任何一侧的温度($T_1$、$T_2$),有:
$$ \newcommand{\erf}{\operatorname{erf}} T_n=T_i+(T_{n0}-T_i)\erf{\frac{x}{2\sqrt{a_nt}}},\ n=1\ or\ 2 $$
其中$T_i$为界面温度,可由下式给出:
$$ T_i=\frac{b_1T_{10}+b_2T_{20}}{b_1+b_2} $$
其中$b_n$由$b_n=\sqrt{\lambda_nc_n\rho_n}$给出。
将上式代入,可以得到:
$$ \newcommand{\erf}{\operatorname{erf}} T_n=\frac{b_1T_{10}+b_2T_{20}}{b_1+b_2}+\frac{b_n(T_{10}-T_{20})}{b_1+b_2}\erf{\frac{x}{2\sqrt{a_nt}}},\ n=1\ or\ 2 $$
式中$\lambda$、$c$、$\rho$、$a$需查表得到。
平方根定律
对于大平板铸件,有:
$$ \tau=\frac{\xi^2}{K^2} $$
即金属凝固时间与凝固层厚度的平方成正比,其中$K$为凝固系数,可由实验测得。凝固结束时,$\xi$为大平板厚度一半。
一般铸件凝固时间计算的近似公式
$$ R=\frac{V_1}{A_1} $$
其中$R$称为折算厚度,反映铸件的几何特征,称为模数。以模数法估算时间:
$$ \sqrt{\tau}=\frac{R}{K} $$
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