凝固温度场

忘记微分方程而学这一部分简直就是折磨。

三维传热微分方程

$$ \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda}{c\rho}\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)=a\nabla^2T $$

其中$a$为材料的热扩散率，$a=\frac{\lambda}{c\rho}$

定解条件

1. 初始条件 物体开始导热时的瞬时温度分布

2. 边界条件

   1. 第一类边界条件 给出表面温度随时间的变化：$$T_w=f(t)$$
   2. 第二类边界条件 给出通过物体表面的比热流随时间的变化：$$\lambda\frac{\partial T}{\partial n}=q(x, y, z, t)$$
   3. 第三类边界条件 给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数$\alpha$：$$\lambda\frac{\partial T}{\partial n}=\alpha(T_w-T_f)$$

铸造温度场

设铸件的起始温度为浇铸温度$T_10$，铸型的起始温度为环境或预热温度$T_20$。对于任何一侧的温度($T_1$、$T_2$)，有：

$$ \newcommand{\erf}{\operatorname{erf}} T_n=T_i+(T_{n0}-T_i)\erf{\frac{x}{2\sqrt{a_nt}}},\ n=1\ or\ 2 $$

其中$T_i$为界面温度，可由下式给出：

$$ T_i=\frac{b_1T_{10}+b_2T_{20}}{b_1+b_2} $$

其中$b_n$由$b_n=\sqrt{\lambda_nc_n\rho_n}$给出。

将上式代入，可以得到：

$$ \newcommand{\erf}{\operatorname{erf}} T_n=\frac{b_1T_{10}+b_2T_{20}}{b_1+b_2}+\frac{b_n(T_{10}-T_{20})}{b_1+b_2}\erf{\frac{x}{2\sqrt{a_nt}}},\ n=1\ or\ 2 $$

式中$\lambda$、$c$、$\rho$、$a$需查表得到。

平方根定律

对于大平板铸件，有：

$$ \tau=\frac{\xi^2}{K^2} $$

即金属凝固时间与凝固层厚度的平方成正比，其中$K$为凝固系数，可由实验测得。凝固结束时，$\xi$为大平板厚度一半。

一般铸件凝固时间计算的近似公式

$$ R=\frac{V_1}{A_1} $$

其中$R$称为折算厚度，反映铸件的几何特征，称为模数。以模数法估算时间：

$$ \sqrt{\tau}=\frac{R}{K} $$