再次整理。
导热理论基础
温度变化率
$$ \frac{\partial t}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta t}{\Delta x}} $$
温度梯度
$$ {\rm grad}\ t=\frac{\partial t}{\partial n}\mathbf{n} $$
其中n指向温度增加的方向。
热流密度
$$ q=\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}A} $$
热流密度矢量q
$$ \mathbf{q}=-\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}A}\mathbf{n} $$
其中q与n方向相反。
导热基本定律
傅里叶定律
$$ \mathbf{q}=-\lambda {\rm grad}\ t=-\lambda\frac{\partial t}{\partial n}\mathbf{n} $$
傅里叶定律表明，导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。
导热率
$$ \lambda=\frac{q}{\lvert{\rm grad}t\rvert} $$
导热微分方程
导热微分方程式
$$ \rho c\frac{\partial t}{\partial\tau}=\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda\frac{\partial t}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\lambda\frac{\partial t}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\lambda\frac{\partial t}{\partial z}\right)\right]+\dot\Phi $$
当导热系数$\lambda$为常数时，导热微分方程可简化为
$$ \frac{\partial t}{\partial\tau}=\frac{\lambda}{\rho c}(\frac{\partial^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2t}{\partial y^2}+\frac{\partial^2t}{\partial z^2})+\frac{\dot\Phi}{\rho c} $$
令$a=\frac{\lambda}{\rho c}$为热扩散率，也称为导温系数，单位$m^2/s$。则上式可以表示为
$$ \frac{\partial t}{\partial\tau}=a\nabla^2t+\frac{\dot\Phi}{\rho c} $$
其单值性条件
- 几何条件
- 物理条件
- 时间条件
- 边界条件
常见的边界条件有3类
- 第一类边界条件
给出物体边界上的温度分布及其随时间的变化规律 - 第二类边界条件
给出物体边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律 - 第三类边界条件
给出物体表面进行对流换热的流体温度及表面的传热系数