再次整理。

导热理论基础

温度变化率

$$ \frac{\partial t}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta t}{\Delta x}} $$

温度梯度

$$ {\rm grad}\ t=\frac{\partial t}{\partial n}\mathbf{n} $$

其中n指向温度增加的方向。

热流密度

$$ q=\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}A} $$

热流密度矢量q

$$ \mathbf{q}=-\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}A}\mathbf{n} $$

其中q与n方向相反。

导热基本定律

傅里叶定律

$$ \mathbf{q}=-\lambda {\rm grad}\ t=-\lambda\frac{\partial t}{\partial n}\mathbf{n} $$

傅里叶定律表明，导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。

导热率

$$ \lambda=\frac{q}{\lvert{\rm grad}t\rvert} $$

导热微分方程

导热微分方程式

$$ \rho c\frac{\partial t}{\partial\tau}=\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda\frac{\partial t}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\lambda\frac{\partial t}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\lambda\frac{\partial t}{\partial z}\right)\right]+\dot\Phi $$

当导热系数$\lambda$为常数时，导热微分方程可简化为

$$ \frac{\partial t}{\partial\tau}=\frac{\lambda}{\rho c}(\frac{\partial^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2t}{\partial y^2}+\frac{\partial^2t}{\partial z^2})+\frac{\dot\Phi}{\rho c} $$

令$a=\frac{\lambda}{\rho c}$为热扩散率，也称为导温系数，单位$m^2/s$。则上式可以表示为

$$ \frac{\partial t}{\partial\tau}=a\nabla^2t+\frac{\dot\Phi}{\rho c} $$

其单值性条件

  • 几何条件
  • 物理条件
  • 时间条件
  • 边界条件

常见的边界条件有3类

  • 第一类边界条件 给出物体边界上的温度分布及其随时间的变化规律
  • 第二类边界条件 给出物体边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律
  • 第三类边界条件 给出物体表面进行对流换热的流体温度及表面的传热系数